第二道题：“在黎曼流形上，给定一个光滑向量场 X，定义 X的散度并证明其与测地线的性质之间的关系。”

第三道题：“给定一个 n-维流形M，在其上给定一个黎曼度量g。证明度量g可以被唯一扩展到整个M上，使得在每一个局部坐标系下都满足度量条件。”

他后来没拿到学位证书，被已经佝偻了腰的父亲领回去，他才幡然醒悟。

一个人宅在家里，将大学的课程系统性地自学了很长一段时间。

这些题都曾在他的自学笔记里里面。

他如数家珍，烂熟于心。

比如第一道的考核，要求对微分流形的基本概念，如切空间和法向量空间有很好的理解。

属于入门级别的问题。

但如果仅仅刚接触到流形的概念，还是有一定难度的。

因为这道题的解法涉及多个抽象概念的综合运用。

第二道就开始真正现出难度了。

首先，理解黎曼流形上向量场散度的定义就需要一定的基础。它涉及到黎曼度量、局部坐标系下的张量运算以及行列式的知识。

要熟练掌握在局部坐标系下对向量场的表示，并且理解散度定义式中每一项的含义，更需要对黎曼几何中的度量张量及其行列式有深入的理解。

到这里，才仅仅只是理解概念的第一步。

第二步，建立散度与测地线性质之间的关系才是真正有挑战性的东西。

这需要熟悉测地线的定义，并且能够将向量场与测地线周围的几何变化联系起来。

理解由向量场生成的单参数微分同胚群对体积的影响，并通过李导数的性质来推导与测地线周围管状邻域体积变化的关系。

这涉及到较为抽象的几何和分析概念。

最后，证明的过程，要将抽象的数学概念和计算与几何直观相结合，需要对黎曼几何、张量分析以及微分方程等多个领域的知识进行综合运用。

至于第三道，要求理解黎曼度量的本质，如何通过局部坐标系来讨论度量的延拓性和唯一性。

仅仅只是证明思路的构建就很复杂。

因为利用局部坐标的相容性和单位分解来证明度量的可扩展性可不是直观易想的方法。

需要理解在不同局部坐标系下度量的变换关系，而这种变换涉及到切向量的坐标变换以及度量系数的相应变化。

单位分解定理本身也是一个相对抽象的工具，理解如何利用单位分解将局部定义的黎曼度量拼接成在整个流形上定义的度量需要比较强的抽象思维能力。