积分计算： 由于曲线C可以变形为一个圆，其半径趋近于零，且f(z)在该圆内的泰勒级数展开的每一项都是分析的，我们可以计算出沿着这个圆的积分为零。因此，沿着整个曲线C的积分也为零：

∮C f(z) dz = 0

这就完成了柯西定理的证明概要。需要注意的是，这个证明是高度简化的，实际的证明需要更精细的数学论证，包括对函数解析性的严格定义以及积分路径变形的详细讨论。

也就是说：

任意一个封闭曲线C或者说封闭曲面V，它们的积分都为零→0，具体举个例子哈：

让我们通过一个具体的例子来展示如何应用柯西定理解决实际问题。

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假设我们需要计算下列定积分：

∫[?R to R] (x^2 ? R^2) / (x^4 + 4R^4) dx

这里，R ＞ 0 是一个实数。我们可以利用柯西定理来简化这个积分的计算。

首先，我们注意到被积函数可以写成两个函数之差的形式：

f(x) = (x^2 ? R^2) / (x^4 + 4R^4) = g(x) ? h(x)

其中，g(x) = x^2 / (x^4 + 4R^4) 和 h(x) = R^2 / (x^4 + 4R^4)。

接下来，我们考虑函数g(x)和h(x)在复平面上的行为。我们可以观察到，g(x)和h(x)都是在整个复平面上解析的，除了在x = ±2Ri处可能有奇点。然而，由于我们只对实数区间[?R, R]进行积分，这些奇点对于我们的计算来说是不相关的。

现在，我们可以应用柯西定理。我们构造一个以原点为中心、半径为R的半圆路径C，然后在实轴上从?R到R延伸。由于g(x)和h(x)在C上都是解析的，我们可以将积分路径从实轴延伸到半圆路径C，而不会改变积分的值。

在半圆路径C上，由于x → ±∞时，|x|远大于R，我们可以忽略g(x)和h(x)的贡献，因为它们的极限为零。因此，沿着半圆路径C的积分也为零。

于是，我们得到：

∫[?R to R] g(x) dx = ∫[?R to R] h(x) dx