然后就看到陆兮又走了回来，拿过已经交还他们手上的笔和草稿纸。

“我刚刚想到，或许我们可以就这道题做一些延伸讨论。”

这道题有什么值得延伸讨论的地方吗？

黄先发和他的小伙伴们同时地铁老人问号脸。

陆兮过去是喜欢做题的，她的做题甚至已经进一步到了刷题的程度。

但在与傲雪的一番聊天之后，她总觉得学数学是要刷题的，但不应该止步于刷题。

人也不是刷题机器。

那么，不想沦为刷题机器，应该怎么做呢？

这是她这个下午在课堂上魂不守舍，思考了一个下午的问题。

带着这个疑问，在解答这道简单的基础代入解题时，她的脑子转得特别快，只是一会儿就想了很多很多。

所以此时此刻，她的脑海中生出了很多很多想法，有种一吐而后快的强烈倾诉欲。

看到黄先发和他的小伙伴胡文亮他们竖起耳朵，一副已经做好洗耳恭听的模样，陆兮不假思索说道：“表达式??^2+??+ 1是一个关于??的二次递推式，而质数生成的多项式一直是数论中的重要问题。”

“举个例子？”胡文亮觉得自己还是上道一些比较好。

陆兮于是顺口说道：“比如比较有名的欧拉的质数生成多项式：??^2+??+41，在??=0到39的范围内会生成质数。”

“事实上，对于??^2+??+1，它本质上是一个循环递推的形式，其特殊性质在于它与三次单位根的关系，比如，??^3?1=0的分解因式之一??^2+??+1的离散形式。”

“也就是说，它与三次单位根在复数域中的几何意义有关。”

“然后呢，有什么意义？”胡文亮皱着眉头问。

陆兮略一沉吟：“这种形式在有限域比如模??的整数环中有独特的行为，或许可以用来研究质数分布模式。”

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“所以这就是你说的深层次的延伸，好像还挺有趣的。”胡文亮眼前一亮，感觉自己似乎进入了一个新的境界，“可以细说一下怎么用来研究质数的分布模式吗？”

“在有限域比如模??的整数环中，研究表达式??^2+??+1的行为时，我们可以发现它特定的周期性和结构，这对于研究质数的分布模式有一定的启发作用，比如……”

草稿纸上，陆兮下笔如有神助。

研究??^2+??+1在模??下的行为，我们就可以考察表达式??^2+??+1在模??（??是质数）下是否能生成所有剩余类，或者是否会恒为非零。

1.在模3的情况：

??^2+??+1=0，模3对于任意??恒成立。

证明：??^2+??+1=??(??+1)+1

对于模3，有??和??+1总有一个能被 3整除，因此??(??+1)恒为3的倍数，加1后结果就是 0。

结论：在模3意义下，表达式恒为0。

2.在模5的情况：

我们列出??=0，1，2，3，4时??^2+??+ 1模5的值：

??=0???^2+??+1≡1模5

??=1???^2+??+1≡3模5

??=2???^2+??+1≡2模5

??=3???^2+??+1≡2模5