[ V_k = \frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\left(\frac{k}{2} + 1\right)} ]

证明 (k+1) 维情况时：

[ V_{k+2} = \int_0^1 \pi r^{k+1} dr = \int_0^1 \pi r^{k+1} dr = \pi ( \frac{1}{k+2} ) ]

因此：

[ V_{k+1} = \frac{\pi^{k/2+1}}{\Gamma\left(\frac{k+2}{2} + 1\right)} ]

综上所述，我们得到了高维空间中单位球的体积公式:

[ V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} ]

希望这些推导能够帮助你更好地理解高维几何体积的计算。如果有进一步的问题，请随时提问。

这是AI给我的答案！

接下来继续哈！

黑体辐射公式描述了理想化的黑体在某个温度下所发出的辐射能量分布。这个公式由普朗克于1900年提出，是量子力学的奠基石之一。黑体辐射理论的推导涉及多个物理概念和数学工具，以下是推导的简要步骤：

1. 划分频率空间

设定一个频率范围 $[u, u+du]$。在这个范围内，电磁波可以看作是许多不同频率的波的叠加。

2. 能量量子化假设

普朗克假设电磁辐射的能量是量子化的，即辐射的能量是 $\epsilon = hv$ 的整数倍，其中 $h$ 是普朗克常数，$v$ 是频率。

3. 能量分布

根据量子力学统计，一个能级 $E = nhv$ 上的能量状态的数量是按玻尔兹曼分布来权衡的。即每个状态的概率是 $P_n \propto e^{-nhv/kT}$，其中 $k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是绝对温度。

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4. 求平均能量

在温度为 $T$ 的热平衡下，对于频率为 $v$ 的电磁波的平均能量可以表示为： [ \langle E \rangle = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} nhv \cdot e^{-nhv/kT}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nhv/kT}} ]

5. 系列求和

利用几何级数求和公式，得到： [ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nhv/kT} = \frac{1}{1 - e^{-hv/kT}} ] [ \sum_{n=0}^{\infty} nhv \cdot e^{-nhv/kT} = \frac{hv}{(e^{hv/kT} - 1)} ]

6. 平均能量结果

因此，频率为 $v$ 的光子的平均能量为： [ \langle E \rangle = \frac{hv}{e^{hv/kT} - 1} ]

7. 空间密度