一维无界弦的量子解：

一维无界弦振动的解析通常涉及量子力学中的薛定谔方程。在量子力学框架内，一维无限深势阱（infinite potential well）问题提供了一个简化的模型来描述弦振动。假设弦的质量密度为μ，长度为L，并且弦两端固定，不允许任何位移，那么弦的有效振动模式可以用正弦波来表示。

弦的动能算子（Kinetic energy operator）是： [ \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\partial^2}{\partial x^2} ]

其中，x是弦上的位置坐标，?是约化普朗克常数。

如果弦的势能仅在两端固定时为无穷大，则势能算子（Potential energy operator）为： [ \hat{V} = 0 \quad (0 ＜ x ＜ L) ] [ \hat{V} = \infty \quad (x \leq 0, x \geq L) ]

薛定谔方程为： [ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \hat{H}\Psi(x,t) ] 其中，Ψ(x,t)是波函数，t是时间，\hat{H}是哈密顿算符，它是动能和势能算符的和： [ \hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ]

在势阱内部，薛定谔方程简化为： [ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) ]

这是一个时间依赖的偏微分方程，其解可以写成时间和空间的分离形式： [ \Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar} ] 其中，ψ(x)是时间独立的波函数，E是能量本征值。

将这个形式代入薛定谔方程，得到时间独立部分的薛定谔方程： [ - \frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E\psi(x) ]

这是一个二阶常微分方程，其解为： [ \psi_n(x) = A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) ] 其中，n是一个正整数，代表弦的振动模式，A_n是归一化常数。

小主，